Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$中，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，$\overrightarrow{c}$=5$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，则实数k的值为-$\frac{29}{14}$．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，根据$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{d}$得出（5$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=0，列出方程解出k．

解答 解：$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2×3×$\frac{1}{2}$=3．
∵$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，
∴（5$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=15${\overrightarrow{a}}^{2}$+（5k+9）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+3k${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
即60+15k+27+27k=0，解得k=-$\frac{29}{14}$．
故答案为：-$\frac{29}{14}$．

点评 本题考查了平面向量垂直与向量数量积的关系，属于中档题．