Question

16．己知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$cosx•sinx+sin²x，x∈R，求函数的最小正周期和单调增区间．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，由周期公式可得最小正周期，解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调增区间．

解答 解：化简可得f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$cosx•sinx+sin²x
=cos²x+sin²x+$\sqrt{3}$cosx•sinx+sin²x
=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1-cos2x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{3}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
∴函数的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函数的单调增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．