Question

1．在△ABC中，若a²+b²=c²+ab，且a+b=20，求△ABC周长的最小值和面积的最大值，并指出此时三角形的形状．

Answer 1

分析 由条件利用余弦定理求得C=$\frac{π}{3}$，再利用基本不等式求得ab的最大值以及c的最小值，可得△ABC周长的最小值和面积的最大值，根据等号成立条件求得此时三角形的形状．

解答 解：△ABC中，若a²+b²=c²+ab，则cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵a+b=20≥2$\sqrt{ab}$，∴ab≤100，当且仅当 a=b时，取等号，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}-2ab•cosC}$=$\sqrt{{（a+b）}^{2}-3ab}$=$\sqrt{400-3ab}$≥$\sqrt{400-300}$=10，
故△ABC周长的最小值为a+b+c=20+10=30，
面积的最大值为$\frac{1}{2}$ab•sinC=50•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=25$\sqrt{3}$，
此时，△ABC的三边相等，都等于10，△ABC为等边三角形．

点评 本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．