Question

6．已知函数f（x）=mx-$\frac{m}{x}$，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，$\sqrt{e}$]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=4时，f′（2）=5，从而可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）mx-$\frac{m}{x}$-3lnx＜3恒成立，利用参数分离法转化求出函数的最值，构造函数G（x）=$\frac{3x+3xlnx}{{x}^{2}-1}$，当x∈（1，e]时，可求得G′（x）＜0，即G（x）在x∈（1，e]时递减，可求G（x）在x∈（1，e]时的最小值．

解答 解：（1）m=4时，f（x）=4x-$\frac{4}{m}$，f′（x）=4+$\frac{4}{{x}^{2}}$，
f′（2）=4+1=5，（2分），
f（2）=4-2=2，
切点坐标为（2，2），
∴切线方程为y-2=5（x-2），即y=5x-8，（4分）
（2）由题意知，若不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，
则等价为mx-$\frac{m}{x}$-3lnx＜3恒成立，即m（x²-1）＜3x+3xlnx恒成立，
∵x²-1＞0
则当x∈（1，e]时，m＜$\frac{3x+3xlnx}{{x}^{2}-1}$恒成立，（7分）
令G（x）=$\frac{3x+3xlnx}{{x}^{2}-1}$，当x∈（1，e]时，
G′（x）=$\frac{-3（{x}^{2}+1）lnx-6}{（{x}^{2}-1）^{2}}$＜0，（9分）
则G（x）在x∈（1，e]时递减，
∴G（x）在x∈（1，e]时的最小值为G（e）=$\frac{6e}{{e}^{2}-1}$，（11分）
则m的取值范围是（-∞，$\frac{6e}{{e}^{2}-1}$）（12分）

点评 本题考查利用导数求求切线方程，考查利用导数研究函数的单调性及闭区间上函数的最值，考查构造函数分析解决问题的能力，考查恒成立问题，突出转化思想与运算能力的考查，属于难题．