Question

14．在平行四边形ABCD中，A（1，1），$\overrightarrow{AB}$=（6，0），$\overrightarrow{AD}$=（3，5）．
（1）求点C的坐标；
（2）设M是线段AB的中点，且线段CM与BD交于点P，求$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，设C的坐标为（x，y），求出B，D点的坐标，根据向量的平行即可求出，
（2）先根据中点坐标公式求出M的坐标，再分别求出直线得到直线CM与直线BD的方程，解方程组得到点P的坐标，再根据向量的数量积即可求出．

解答 解：（1）设C的坐标为（x，y），A（1，1），$\overrightarrow{AB}$=（6，0），$\overrightarrow{AD}$=（3，5）．
∴B（7，1），D（4，6），
∴$\overrightarrow{DC}$=（x-4，y-6），$\overrightarrow{BC}$=（x-7，y-1），
∵$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AD}$∥$\overrightarrow{BC}$，
∴（x-4）×0=6（y-6），3（y-1）=5（x-7）
解得y=6，x=10，
∴C（10，6），
（2）M是线段AB的中点，
∴M（4，1），
根据直线的两点式方程，得到直线CM的方程为$\frac{y-1}{6-1}$=$\frac{x-4}{10-4}$，即5x-6y-14=0，
直线BD的方程为$\frac{y-6}{1-6}$=$\frac{x-4}{7-4}$，即5x+3y-38=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{5x-6y-14=0}\\{5x-3y-2=0}\end{array}\right.$，解得x=6，y=$\frac{8}{3}$，
∴P（6，$\frac{8}{3}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（-2，-$\frac{5}{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，-$\frac{5}{3}$），
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PB}$=-2×1+（-$\frac{5}{3}$）×（-$\frac{5}{3}$）=$\frac{7}{9}$

点评 本题考查了向量的坐标运算以及直线与方程的问题，培养了学生的计算能力，属于中档题．