Question

15．在△ABC中，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AC}$，则S_△APB：S_△CPB=12：13．

Answer 1

分析 可过PAC∥PD，PE∥AB，分别交AB，AC于D，E，则得到四边形ADPE为平行四边形，从而可以得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，从而有DP∥AC，且$DP=\frac{2}{5}AC$，PE∥AB，且$PE=\frac{1}{6}AB$，从而可得到${S}_{△APB}=\frac{2}{5}{S}_{△ABC}，{S}_{△APC}=\frac{1}{6}{S}_{△ABC}$，${S}_{△CPB}=\frac{13}{30}{S}_{△ABC}$，这样便可得出S_△APB：S_△CPB的值．

解答 解：如图，过P作AC∥PD，交AB于D，作PE∥AB，交AC于E，则：
四边形ADPE为平行四边形，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$；
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$；
∴$DP=\frac{2}{5}AC，PE=\frac{1}{6}AB$；
∴${S}_{△APB}=\frac{2}{5}{S}_{△ABC}，{S}_{△APC}=\frac{1}{6}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△CPB}=\frac{13}{30}{S}_{△ABC}$；
∴S_△APB：S_△CPB=12：13．
故答案为：12：13．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，以及三角形的面积公式．