Question

20．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，sinA=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 由正弦定理可得a值，进而由边角关系和同角三角函数基本关系可得cosA，可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：∵在△ABC中，c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{4}{5}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{8}{5}$＜$\sqrt{3}$=c，∴A＜C=$\frac{π}{3}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=sin（A+C）=$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{5}$×$\sqrt{3}$×$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{8\sqrt{3}+18}{25}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．