Question

10．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n•a_n+1=a_n²+a_n+2（n∈N^*）．
（1）证明：a_n+1＞a_n；
（2）证明：当n≥2时，n+2≤a_n≤$\frac{3}{2}$n+1．

Answer 1

分析 （1）首先可判断a_n＞0恒成立；从而化简可得a_n+1-a_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1＞0，从而证明；
（2）可求得当n≥2时，a_n≥4，从而可得1＜$\frac{2}{{a}_{n}}$+1≤1+$\frac{2}{4}$=$\frac{3}{2}$，从而可依次列出1＜a₃-a₂≤$\frac{3}{2}$，1＜a₄-a₃≤$\frac{3}{2}$，1＜a₅-a₄≤$\frac{3}{2}$，…，从而利用累加法证明．

解答 证明：（1）∵a₁=1，a_n•a_n+1=a_n²+a_n+2，
∴a_n＞0恒成立；
∴a_n+1=a_n+$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（2）∵a₁=1，
∴a₂=1+$\frac{2}{1}$+1=4，
又∵a_n+1＞a_n，
∴当n≥2时，a_n≥4，
故1＜$\frac{2}{{a}_{n}}$+1≤1+$\frac{2}{4}$=$\frac{3}{2}$，
故1＜a₃-a₂≤$\frac{3}{2}$，
1＜a₄-a₃≤$\frac{3}{2}$，
1＜a₅-a₄≤$\frac{3}{2}$，
…
1＜a_n-a_n-1≤$\frac{3}{2}$，
累加得，
n-2＜a_n-a₂≤$\frac{3}{2}$（n-2），
即n-2+4＜a_n≤$\frac{3}{2}$（n-2）+4，
故n+2≤a_n≤$\frac{3}{2}$n+1．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了放缩法证明不等式的方法应用．