Question

8．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且tanB+tanC=$\frac{2sinA}{cosB}$，a+b=3ab．
（1）求角C的值；
（2）若c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知式子和三角函数公式化简可得cosC=$\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{3}$；
（2）由已知和正弦定理可得a+b=3ab，再由余弦定理整体可得ab=$\frac{3}{2}$，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：（1）∵△ABC中tanB+tanC=$\frac{2sinA}{cosB}$，
∴$\frac{sinB}{cosB}$+$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{2sinA}{cosB}$，
∴$\frac{sinBcosC+cosBsinC}{cosBcosC}$=$\frac{2sinA}{cosB}$，
∴$\frac{sin（B+C）}{cosBcosC}$=$\frac{2sinA}{cosB}$，即$\frac{sinA}{cosBcosC}$=$\frac{2sinA}{cosB}$，
解得cosC=$\frac{1}{2}$，故C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a+b=3ab，又c=3，
∴由余弦定理可得9=c²=a²+b²-2abcosC
=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=6ab，故ab=$\frac{3}{2}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．