Question

6．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为钝角，sinBcosC+cosBsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{7}$且b＞c，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求边b和c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又A为钝角，即可解得A的值．
（Ⅱ）由三角形面积公式可解得bc=8，由余弦定理（b+c）²-bc=28，从而解得b+c=6，联立即可解得b，c的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵sinBcosC+cosBsinC=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴sin（B+C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…．（2分）
∵A+B+C=π，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（4分）
又∵A为钝角    …．（5分）      
∴A=$\frac{2π}{3}$．…．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得A=$\frac{2π}{3}$．由S=2$\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{2π}{3}$=2$\sqrt{3}$，∴bc=8．①…．（8分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得（2$\sqrt{7}$）²=b²+c²-2bccos$\frac{2π}{3}$，…．（10分）
即b²+c²+bc=28．
∴（b+c）²-bc=28．②，…．（11分）
将①代入②，得（b+c）²-8=28，
∴b+c=6．                        …．（12分）
∵b＞c，
∴b=4，c=2．                …．（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于中档题．