Question

15．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）
• C． （$\sqrt{3}$，2）
• D． （2，$\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件可得平行直线的方程，联立解得交点A，B的坐标，可得AB的长，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得e的方程，运用零点存在定理，进而得到离心率的范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设焦点F（c，0），由y=$\frac{b}{a}$（x-c）和双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得交点A（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$），
同理可得B（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，-$\frac{b（{a}^{2}-{c}^{2}）}{2ac}$），
即有|AB|=$\frac{b（{c}^{2}-{a}^{2}）}{ac}$=2a，
由b²=c²-a²，由e=$\frac{c}{a}$，可得4e²=（e²-1）³，
由f（x）=（x²-1）³-4x²，可得f′（x）=6x（x²-1）-8x＞0，x＞1，f（x）递增．
又f（2）＞0，f（$\sqrt{3}$）＜0，
可得$\sqrt{3}$＜e＜2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用渐近线方程和平行线的联立，以及离心率公式的运用，考查运算能力，属于中档题．