Question

3．定义在R上的偶函数f（x）在区间[-1，0]上为增函数，且满足f（x+1）=-f（x），则（　　）

• A． f（$\sqrt{2}$）＜f（2）＜f（3）
• B． f（2）＜f（3）＜f（$\sqrt{2}$）
• C． f（3）＜f（2）＜f（$\sqrt{2}$）
• D． f（3）＜f（$\sqrt{2}$）＜f（2）

Answer 1

分析 根据f（x+1）=-f（x）便可得到f（x）为周期为2的周期函数，从而有$f（\sqrt{2}）=f（2-\sqrt{2}），f（2）=f（0），f（3）=f（1）$，而由题意可得到f（x）在[0，1]上单调递减，从而可以得到$f（1）＜f（2-\sqrt{2}）＜f（0）$，这样便可找出正确选项．

解答 解：f（x+1）=-f（x）；
∴f（x）=f（x+2）；
∴f（x）是以2为周期的周期函数；
根据题意知，f（x）在[0，1]上为减函数；
又1$＞2-\sqrt{2}＞0$；
∴$f（1）＜f（2-\sqrt{2}）＜f（0）$，且$f（\sqrt{2}）=f（2-\sqrt{2}），f（2）=f（0），f（3）=f（1）$；
∴$f（3）＜f（\sqrt{2}）＜f（2）$．
故选：D．

点评 考查周期函数的定义，偶函数在对称区间上的单调性特点，以及减函数的定义，将自变量的值变到单调区间上再比较函数值大小的方法．