Question

8．已知双曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，其左、右焦点分别是F₁，F₂，已知点M坐标为（2，1）．双曲线C上点P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）满足$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}$+λ（$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$+$\frac{\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{2}|}$），则S${\;}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$=2．

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，设△PF₁F₂的内切圆与三边的切点分别是D，E，H，运用切线的性质：切线长相等，结合双曲线的定义，可得内心的横坐标为a，由向量的平行四边形法则可得M在∠F₁PF₂的平分线上，即有M为内心，运用三角形的面积公式，结合双曲线的定义，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3．
如右图，设△PF₁F₂的内切圆与三边的切点分别是D，E，H，
由切线的性质可得，PD=PH，F₁D=F₁E，F₂E=F₂H，
由双曲线的定义可得，PF₁-PF₂=2a，
即为F₁D-F₂H=2a，又F₁D+F₂H=F₂E+F₁E=F₁F₂=2c，
解得F₁E=F₁D=a+c，可得E的横坐标为a，
由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OP}$+λ（$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$+$\frac{\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{2}|}$），
可得$\overrightarrow{PM}$=λ（$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}}{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}$+$\frac{\overrightarrow{P{F}_{2}}}{|P{F}_{2}|}$），即有M在∠F₁PF₂的平分线上，
由于M（2，1），由a=2，可得M为内心，且半径为1，
则S${\;}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r（PF₁-PF₂）=$\frac{1}{2}$•1•2a=a=2．
故答案为：2．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，注意运用切线的性质和双曲线的定义，考查学生运算求解和分析解决问题的能力，属于中档题．