Question

18．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为P，过P作y轴的垂线交另一渐近线为Q，若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得PF的方程，联立渐近线方程，解得交点P的坐标，由对称性可得Q的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
右焦点F（c，0），
由题意可得直线PF的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
联立渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，可得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由对称性可得Q（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，
可得$\frac{1}{2}$c•$\frac{ab}{c}$=4•$\frac{1}{2}$•$\frac{2{a}^{2}}{c}$•$\frac{ab}{c}$，
即有c²=8a²，e=$\frac{c}{a}$=2$\sqrt{2}$，
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．