Question

6．已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点为（2，1），则直线l的方程为（　　）

• A． y=2x-3
• B． y=2x-1
• C． y=x-3
• D． y=x-1

Answer 1

分析 设出A，B的坐标，代入抛物线方程，两式相减，整理求得直线l的斜率，进而利用点斜式求得直线的方程．

解答 解：抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x=-1，
可得抛物线的方程为y²=4x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁≠x₂，$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$两式相减得，y₁²-y₂²=4（x₁-x₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2
∴直线l的方程为y-1=2x-4，即y=2x-3．
故选：A．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．