Question

1．已知y=f（x）为R上的连续可导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 0或1
• D． 无数个

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系，得到xf（x）=-1，（x＞0），构造函数h（x）=xf（x），求函数的导数，研究函数的单调性和取值范围进行求解即可．

解答 解：由g（x）=xf（x）+1=0得，xf（x）=-1，（x＞0），
设h（x）=xf（x），
则h′（x）=f（x）+xf′（x），
∵xf′（x）+f（x）＞0，
∴h′（x）＞0，即函数在x＞0时为增函数，
∵h（0）=0•f（0）=0，
∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
故h（x）=-1无解，
故函数g（x）=xf（x）+1（x＞0）的零点个数为0个，
故选：A．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和取值范围是解决本题的关键．