Question

11．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，虚轴的上端点为B，线段AB与渐近线交于点M，若FM平分∠BFA，则该双曲线的离心率e=（　　）

• A． 1+$\sqrt{3}$
• B． 1+$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，求得AB的方程，解得M的坐标，即为中点，运用等腰三角形的性质，可得AF=BF，再由两点的距离公式和离心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由A（a，0），B（0，b），可得直线AB的方程为bx+ay=ab，
联立渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，解得M（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
即有M为AB的中点，
由FM平分∠BFA，可得三角形ABF为等腰三角形，
即有AF=BF，即a+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
又a²+b²=c²，可得c²=2a²+2ac，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-2=0，
解得e=1+$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，等腰三角形的性质，以及方程的思想，考查运算能力，属于中档题．