Question

20．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$•cos$\frac{x}{2}$+cos² $\frac{x}{2}$，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为b²+c²-a²=bc．再利用余弦定理可得：cosA．
（II）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1+cosx}{2}$=$sin（x+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，在锐角△ABC中，$\frac{π}{6}$＜B$＜\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，即可得出．

解答 解：（I）∵（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，化为b²+c²-a²=bc．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$．
（II）f（x）=$\sqrt{3}sin\frac{x}{2}•cos\frac{x}{2}+{cos^2}\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1+cosx}{2}$=$sin（x+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$，
在锐角△ABC中，$\frac{π}{6}$＜B$＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴$sin（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
∴f（B）的取值范围是$（\frac{1+\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．