Question

9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F₂，M是双曲线C在第一象限上一点，N与M关于原点对称，MF₂交双曲线C于另一点P，NF₂⊥PF₂，|NF₂|=|PF₂|，则双曲线C的渐近线为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

Answer 1

分析 设|NF₂|=t，可得|PF₂|=t，连接MF₁，NF₁，可得|MF₁|=t，由双曲线的定义可得，|MF₁|-|MF₂|=2a，即有|MF₂|=t-2a，再由勾股定理，可得t，再由|PF₁|=t+2a，在直角三角形MPF₁中，运用勾股定理，可得t，解方程可得a，b的关系，即可得到所求渐近线方程．

解答 解：设|NF₂|=t，可得|PF₂|=t，
连接MF₁，NF₁，可得|MF₁|=t，
由双曲线的定义可得，|MF₁|-|MF₂|=2a，
即有|MF₂|=t-2a，
由NF₂⊥PF₂，可得t²+（t-2a）²=4c²=4a²+4b²，
解得t=a+$\sqrt{{a}^{2}+2{b}^{2}}$，
连接PF₁，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₁|=t+2a，在直角三角形MPF₁中，可得
（t+2a）²=t²+（2t-2a）²，
解得t=3a，
由a+$\sqrt{{a}^{2}+2{b}^{2}}$=3a，化为2b²=3a²，
即为b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
可得渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
即为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故答案为：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．