Question

4．如图，B是AC的中点，$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{OB}$，P是矩形BCDE内（含边界）的一点，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$（x，y∈R）．则x-y的最大值为-1．

Answer 1

分析 可分别过P作PM∥AO，PN∥OE，从而得到平行四边形PMON，从而有$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}$，而$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，从而根据图形便可得到x≤0，y≥1，这样便得出x=0，y=1时，x-y取到最大值-1．

解答 解：如图，过P作PM∥AO，交OE于M，作PN∥OE，交AO的延长线于N，则：
$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}$；
又$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$；
∴x≤0，y≥1；
由图形看出，当P与B重合时：$\overrightarrow{OP}=0•\overrightarrow{OA}+1•\overrightarrow{OB}$；
此时x取最大值0，y取最小值1；
∴此时x-y取最大值-1；
即x-y的最大值为-1．
故答案为：-1．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，向量数乘的几何意义，以及数形结合解题的方法．