Question

4．设向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$满足|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|=|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|=1，非零向量$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x＞0，y＞0，若x=2|$\overrightarrow{a}$|，则$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角θ的最小值为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{5π}{6}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 先根据向量的数量积德运算和模的计算得到3x²+4y²+8xycosθ=0，再根据基本不等式和余弦函数的性质即可求出．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$，x＞0，y＞0，x=2|$\overrightarrow{a}$|，
∴x²=4|$\overrightarrow{a}$|²=4（x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+y$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=4（x²|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|²+y²|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|²+2xy|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cosθ）=4（x²+y²+2xycosθ），
即3x²+4y²+8xycosθ=0，
∴3x²+4y²+8xycosθ≥4$\sqrt{3}$xy+8xycosθ≥0，
即cosθ≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴$\frac{5π}{6}$≤θ≤π，
∴则$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夹角θ的最小值为$\frac{5π}{6}$，
故选：C．

点评 本题考查了向量的数量积德运算和基本不等式，属于中档题．