Question

14．数列{a_n}的前项n和为S_n，S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1
（1）设b_n=a_n+n，证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）求数列{a_n}的前3项，从而猜想数列的通项公式，利用数学归纳法证明即可．
（2）由（1）知nb_n=n，从而利用等差数列求和公式求和．

解答 （1）证明：当n=1时，∵S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{1}{2}$n+1，
∴a₁+a₁=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$+1=0，
∴a₁=0，b₁=0+1=1；
当n=2时，同理解得，a₂=-1，b₁=-1+2=1；
当n=3时，同理解得，a₃=-2，b₁=-2+3=1；
假设当n=k，（k≥2）时，a_k=1-k，
则S_k=$\frac{0+1-k}{2}$•k，
则S_k+a_k+1+a_k+1=-$\frac{1}{2}$（k+1）²-$\frac{1}{2}$（k+1）+1，
解得，a_k+1=-k=1-（k+1），
综上所述，a_n=1-n，
故b_n=a_n+n=1-n+n=1，
故数列{b_n}是等比数列；
（2）解：nb_n=n，
故T_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的判断与应用，同时考查了数学归纳法的应用．