Question

4．设F₁，F₂为椭圆的两个焦点，以F₁为圆心作圆F₂，已知圆F₂经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF₁恰与圆F₂相切，则该椭圆的离心率e为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由题意圆F₂的半径为c，∠F₁MF₂是直角，在直角三角形F₁MF₂中有（2a-c）²+c²=4c²，由此能求出该椭圆的离心率．

解答 解：∵F₁，F₂为椭圆的两个焦点，以F₁为圆心作圆F₂，圆F₂经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，
∴圆F₂的半径为c，又直线MF₁恰与圆F₂相切，∴∠F₁MF₂是直角，
∵|F1F2|=2c，|MF₂|=c，|F₁M|=2a-c，
∴在直角三角形F₁MF₂中有（2a-c）²+c²=4c²，
整理，得e²+2e-2=0，
∴e=$\sqrt{3}$-1或e=-1-$\sqrt{3}$（舍），
∴该椭圆的离心率e为$\sqrt{3}-1$．
故答案为：$\sqrt{3}-1$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．