Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，$\sqrt{3}$ ），则|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|的取值范围是（　　）

• A． [5，6]
• B． [6，7]
• C． [6，9]
• D． [5，7]

Answer 1

分析 设出A，B两点坐标，求出三个向量的坐标，对|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|取平方得出关于A点坐标的函数，利用三角函数的性质求出|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|的范围．

解答 解：设A（x，0），B（0，y），则x²+y²=1．
∴$\overrightarrow{AP}$=（1-x，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BP}$=（1，$\sqrt{3}-$y）.$\overrightarrow{OP}$=（1，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$=（3-x，3$\sqrt{3}-y$）．
∴|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|²=（3-x）²+（3$\sqrt{3}$-y）²=37-6x-6$\sqrt{3}$y．
令x=cosθ，y=sinθ，
则|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|²=37-6cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ=37-12sin（θ+$\frac{π}{6}$）．
∴当sin（θ+$\frac{π}{6}$）=-1时，|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|取得最大值$\sqrt{37+12}$=7，
当sin（θ+$\frac{π}{6}$）=1时，|$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{OP}$|取得最小值$\sqrt{37-12}$=5．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，三角函数的图象与性质，属于中档题．