Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，其中|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，则向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用向量垂直的数量积为0列出方程；利用向量的平方等于向量模的平方及向量的数量积公式将方程用模与夹角表示求出夹角．

解答 解：设两个向量的夹角为θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=|$\overrightarrow{a}$|²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cosθ=3-2$\sqrt{3}$cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．