Question

13．已知圆心为C₁的圆（x+2）²+y²=1，圆心为C₂的圆（x-4）²+y²=4，过动点P向圆C₁和圆C₂引切线，切点分别为M，N，若|PM|=2|PN|，则△PC₁C₂面积最大值为（　　）

• A． 3$\sqrt{13}$
• B． 3$\sqrt{15}$
• C． 3$\sqrt{21}$
• D． 15

Answer 1

分析 设出P的坐标，由题意列式转化为二次函数的最值问题得答案．

解答 解：由题意知：C₁（-2，0），C₂（4，0），
设P（x₀，y₀），
由|PM|=2|PN|，
得$\sqrt{（{x}_{0}+2）^{2}+{{y}_{0}}^{2}-1}$=$2\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{{y}_{0}}^{2}-4}$，
整理得：${{y}_{0}}^{2}=-{{x}_{0}}^{2}+12{x}_{0}-15$，
∴$|{y}_{0}|=\sqrt{-（{x}_{0}-6）^{2}+21}$，
∴S=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{-（{x}_{0}-6）^{2}+21}$，当x₀=6时，y₀取得最大值为$\sqrt{21}$．
∴S_max=$\frac{1}{2}×6×|{y}_{0}|=3\sqrt{21}$．
故选：C．

点评 本题考查圆与圆位置关系的判定，考查数学转化思想方法，是中档题．