Question

18．设向量$\overrightarrow{m}$=2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=4$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{p}$=3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，若用$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$表示$\overrightarrow{p}$，则$\overrightarrow{p}$=$-\frac{7}{4}$$\overrightarrow{m}$$+\frac{13}{8}$$\overrightarrow{n}$．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{m}+y\overrightarrow{n}$，从而可以得出$\overrightarrow{p}=（2x+4y）\overrightarrow{a}+（-3x-2y）\overrightarrow{b}$，而$\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，从而根据平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=3}\\{-3x-2y=2}\end{array}\right.$，解出x，y便可用$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$表示出$\overrightarrow{p}$．

解答 解：设$\overrightarrow{p}=x\overrightarrow{m}+y\overrightarrow{n}$=$x（2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}）+y（4\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）$=$（2x+4y）\overrightarrow{a}+（-3x-2y）\overrightarrow{b}$；
又$\overrightarrow{p}=3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$；
∴由平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{2x+4y=3}\\{-3x-2y=2}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{7}{4}}\\{y=\frac{13}{8}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{p}=-\frac{7}{4}\overrightarrow{m}+\frac{13}{8}\overrightarrow{n}$．
故答案为：$-\frac{7}{4}\overrightarrow{m}+\frac{13}{8}\overrightarrow{n}$．

点评 考查向量的数乘运算，以及平面向量基本定理，二元一次方程组的解法．