Question

10．已知O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠AOC=120°，且|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，|$\overrightarrow{OC}$|=3，若m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，则|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{8-2\sqrt{3}}$，m+$\sqrt{3}$n的值是-12．

Answer 1

分析 求向量的模，先平方再开方，利用向量的数量积运算，可得结论；
设$\overrightarrow{OA′}$=m$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB′}$=n$\overrightarrow{OB}$，由向量加法及数乘向量的几何意义m＜0，n＜0，且∠COB′=90°，∠CB′D=30°，从而可建立方程，即可求实数m，n的值．

解答 解：∵O是△ABC内一点，∠AOB=150°，∠AOC=120°，且|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，|$\overrightarrow{OC}$|=3，
∴∠BOC=90°，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|cos150=2×1×（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OC}$|cos120=2×3×（-$\frac{1}{2}$）=-3，
$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=0，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|²=|$\overrightarrow{OA}$|²+|$\overrightarrow{OB}$|²+|$\overrightarrow{OC}$|²+2（$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$）=8-2$\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{8-2\sqrt{3}}$；
设$\overrightarrow{OA′}$=m$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB′}$=n$\overrightarrow{OB}$，
由向量加法及数乘向量的几何意义m＜0，n＜0，且∠COB′=90°，∠CB′D=30°，
∴|$\overrightarrow{B′C}$|²=|$\overrightarrow{OC′}$|²+|$\overrightarrow{OB′}$|²，且2|$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{OA′}$|，
∴4m²=n²+9，且6=2|m|
∴m=-3，n=-3$\sqrt{3}$，
∴m+$\sqrt{3}$n=-3-3$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=-12，
故答案为：$\sqrt{8-2\sqrt{3}}$，-12

点评 本题考查向量知识的运用，考查向量的模，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．