Question

20．已知tan（α+β）=0，求证：sin（α+2β）+sinα=0．

Answer 1

分析 由条件可得α+β=kπ，k∈Z，若α+β=2nπ，n∈Z，则sinα=-sinβ，化简 sin（α+2β）为 sinβ+sinα=0．若α+β=（2n-1）π，n∈Z，则sinα=sinβ，化简 sin（α+2β）为-sinβ+sinα=0，从而证得结论．

解答 证明：∵tan（α+β）=0，∴sin（α+β）=0，cos（α+β）=±1，α+β=kπ，k∈Z，
若α+β=2nπ，n∈Z，则sin（α+β）=0，cos（α+β）=1，sinα=sin（2nπ-β）=-sinβ，
∴sin（α+2β）+sinα=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ+sinα=sinβ+sinα=0．
若α+β=（2n-1）π，n∈Z 可得α=（2n-1）π-β，∴sinα=sin（2nπ-π-β）=sinβ，
 sin（α+2β）+sinα=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ+sinα=-sinβ+sinα=0，
综上可得，sin（α+2β）+sinα=0．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，同角三角的基本关系，属于中档题．