Question

5．设函数f（x）=$\frac{x-a}{x-1}$，集合M={x|f（x）＜0}，P={x|f′（x）＞0}，若M?P，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （0，1）
• C． （1，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 利用分式的求导法则，求出f′（x），通过解两个分式不等式，化简集合M，P，再根据M?P，求出a的范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{x-a}{x-1}$，
∴对于集合M={x|f（x）＜0}，
若a＞1时，M={x|1＜x＜a}；
若a＜1时，M={x|a＜x＜1}；
若a=1时，M=∅．
∵f′（x）=$\frac{（x-1）-（x-a）}{（x-1）^{2}}$＞0．
∴对于P={x|f′（x）＞0}，
若a＞1时，P=R；
若a＜1时，P=∅；
若a=1，则P=∅．
∵M?P，
∴a＞1，
∴a∈（1，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查了元素与集合关系的判断，通过集合之间的关系，考察了商的导数的求法，分式不等式的解法，是基础题．