Question

10．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆C过点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设不过坐标原点O的直线与椭圆C交于P，Q两点，若OP⊥OQ，证明：点O到直线PQ的距离为定值．

Answer 1

分析 （I）设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得即可得出．
（II）当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与椭圆方程联立可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，把根与系数的关系代入可得：5m²=4+4k²．利用点O到直线PQ的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，即可证明．当直线PQ斜率不存在时，验证即可得出．

解答 解：（I）设椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）证明：当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△＞0，
x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∵OP⊥OQ，
∴$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=（1+k²）x₁x₂+mk（x₁+x₂）+m²=0，
∴$\frac{（1+{k}^{2}）（4{m}^{2}-4）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{m}^{2}{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，
化为：5m²=4+4k²．
∴点O到直线PQ的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|m|}{\frac{\sqrt{5}|m|}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$为定值．
当直线PQ斜率不存在时也满足上述结论．
∴点O到直线PQ的距离d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．