Question

18．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求a-b的取值范围．

Answer 1

分析 （I）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出关于cosC的方程；
（II）根据正弦定理得出a-b=sinA-sinB，消去B，得到关于A的三角函数，利用正弦函数的性质和A的范围求出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，A+B+C=π，
∴sin²$\frac{A+B}{2}$=$\frac{1-cos（A+B）}{2}$=$\frac{1+cosC}{2}$．
∵4sin²$\frac{A+B}{2}-cos2C=\frac{7}{2}$，
∴2（1+cosC）-（2cos²C-1）=$\frac{7}{2}$，即4cos²C-4cosC+1=0，
解得cosC=$\frac{1}{2}$．
∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=1$，
∵a-b=sinA-sinB=sinA-sin（$\frac{2π}{3}-A$）=$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=sin（A-$\frac{π}{3}$）．
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴A-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$）．
∴sin（A-$\frac{π}{3}$）＜sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
sin（A-$\frac{π}{3}$）＞sin（-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a-b的取值范围是（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，正弦函数的图象与性质，属于中档题．