Question

13．设a，b∈R⁺，则下列不等式中一定不成立的是（　　）

• A． a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$＞2$\sqrt{2}$
• B． （a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）＞4
• C． $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$＞ab
• D． $\frac{2ab}{a+b}$＞$\sqrt{ab}$
• E． a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$＞2$\sqrt{2}$
• F． $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$≥$\frac{2ab}{\sqrt{ab}}$=$2\sqrt{ab}$

Answer 1

分析 利用基本不等式判断即可．

解答 解：∵a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$≥2$\sqrt{ab}$$+\frac{1}{\sqrt{ab}}$（a=b等号成立），
2$\sqrt{ab}$$+\frac{1}{\sqrt{ab}}$≥2$\sqrt{2}$（ab=$\frac{1}{2}$等号成立），
a+b+$\frac{1}{\sqrt{ab}}$＞2$\sqrt{2}$，
∴（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2$+\frac{a}{b}$$+\frac{b}{a}$≥4（a=b等号成立），
$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{\sqrt{ab}}$≥$\frac{2ab}{\sqrt{ab}}$=$2\sqrt{ab}$，
$\frac{2ab}{a+b}$$≤\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$，
∴一定不成立的是D，
故选：D．

点评 本题考察了基本不等式的运用，关键掌握好条件，不等号方向．