Question

3．已知点A（0，1）与B（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）都在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，直线AB交x轴于点M．
（1）求椭圆C的方程，并求点M的坐标；
（2）设O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，问：y轴上是否存在点E，使得∠OEM=∠ONE？若存在，求点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A（0，1）与B（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）都在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，利用待定系数法能求出椭圆C的方程和直线AB的方程，由此能求出点M的坐标．
（2）由已知求出D（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），直线AD：3x+2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0，从而求出N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），设E（0，y₀），由∠OEM=∠ONE，得到|$\frac{2\sqrt{3}}{{y}_{0}}$|=|$\frac{\sqrt{3}{y}_{0}}{2}$|，从而求出y轴上是否存在点E（±2，0），使得∠OEM=∠ONE．

解答 解：（1）∵点A（0，1）与B（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）都在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=1}\end{array}\right.$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
直线AB的方程为$\frac{y-1}{x}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\sqrt{3}}$，
整理，得x+2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0，
当y=0时，x=2$\sqrt{3}$，
∴点M的坐标为M（2$\sqrt{3}$，0）．
（2）∵点A（0，1）与B（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），O为原点，点D与点B关于x轴对称，直线AD交x轴于点N，
∴D（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），直线AD：$\frac{y-1}{x}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{\sqrt{3}}$，即3x+2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0，
令y=0，得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
设E（0，y₀），
tan∠OEM=|$\frac{2\sqrt{3}}{{y}_{0}}$|，tan∠ONE=|$\frac{{y}_{0}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$|=|$\frac{\sqrt{3}{y}_{0}}{2}$|，
∵∠OEM=∠ONE，∴tan∠OEM=tan∠ONE，
∴|$\frac{2\sqrt{3}}{{y}_{0}}$|=|$\frac{\sqrt{3}{y}_{0}}{2}$|，解得y₀=±2．
∴y轴上是否存在点E（±2，0），使得∠OEM=∠ONE．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．