Question

8．在三棱锥P-ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱锥P-ABC的外接球的表面积为8π，则该三棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{9}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{9}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，设出底面三角形的外心G，找出三棱锥P-ABC的外接球的球心O，通过求解直角三角形得到三棱锥的高，则答案可求．

解答 解：如图
取BC中点为E，连接AE，
∵底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，
∴△ABC的外心G在AE上，设为G，取AB中点F，连接GF，
在Rt△AEB中，由BE=1，∠BAE=60°，得AF=$\frac{1}{2}AB$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又在Rt△AFG中，得$AG=\frac{AF}{cos60°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
过G作PA的平行线与PA的中垂线HO交于O，
则O为三棱锥P-ABC的外接球的球心，即R=OA，
由4πR²=8π，得R=$\sqrt{2}$，
∵PA⊥平面ABC，∴OG⊥AG，
在Rt△AGO中，求得OG=$\sqrt{{R}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{2-\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴三棱锥P-ABC的高PA=2OG=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
则三棱锥的体积为V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{9}$．
故选：B．

点评 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力和思维能力，考查计算能力，是中档题．