Question

17．已知$\overrightarrow m=（{sin（{x-\frac{π}{6}}），1}），\overrightarrow n=（{cosx，1}）$
（1）若$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，求tanx的值；
（2）若函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n，x∈[{0，π}]$，求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据平面向量的共线定理，列出方程求出tanx的值；
（2）根据平面向量的数量积求出f（x），再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$得：sin（x-$\frac{π}{6}$）-cosx=0，
展开变形可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{3}{2}$cosx
∴sinx=$\sqrt{3}$cosx，
即tanx=$\sqrt{3}$；…（6分）
（2）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{4}$，
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ，k∈Z$；
又因为x∈[0，π]，
所以x∈[0，π]时，f（x）的单调增区间为[0，$\frac{π}{3}$]和[$\frac{5π}{6}$，π]．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．