Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左顶点为M，右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足：$\overrightarrow{MA}$$+\overrightarrow{MB}$=2$\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，则该双曲线的离心率是2．

Answer 1

分析 由中点的向量表示形式可得F为AB的中点，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0可得MA⊥MB，由△ABM为等腰直角三角形，可得tan45°=$\frac{AF}{MF}$，即有b²=a（c+a），由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{MA}$$+\overrightarrow{MB}$=2$\overrightarrow{MF}$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0可得：
F为AB的中点，MA⊥MB，
由双曲线的对称性，可得AB⊥x轴，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
由△ABM为等腰直角三角形，可得：
tan45°=$\frac{AF}{MF}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{c+a}$=1，
即有b²=a（c+a），
即（c-a）（c+a）=a（c+a），
可得c-a=a，即c=2a，
即有e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面向量共线定理和向量垂直的条件，考查等腰三角形的性质，属于中档题．