Question

14．有下列命题：
（1）$\sqrt{3}$$+\sqrt{7}$＜2+$\sqrt{6}$；
（2）若a≥b＞0，n∈N^*，且n≥2，则有$\root{n}{a}$≥$\root{n}{b}$；
（3）1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）；
（4）nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ对-切n∈N^*且n≥3恒成立．
以上命题适合使用数学归纳法证明的序号是（3）．

Answer 1

分析 数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的，故可以判断．

解答 解：对于（3）适合用数学归纳法，
①当n=1时，左边=1，右边=1，
∴左边=右边
②假设n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
当n=k+1时，等式左边=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
综上①②可知1+3+5+…+（2n-1）=n²对于任意的正整数成立，
故答案为：（3）．

点评 本题考查了数学归纳法，用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．本题解题的关键是利用第二步假设中结论证明当n=k+1时成立，本题是一个中档题目．