Question

16．已知$\overrightarrow m=（{1，cosx}），\overrightarrow n=（{t，\sqrt{3}sinx-cosx}）$，函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n（{t∈R}）$的图象过点$M（{\frac{π}{12}，0}）$．
（1）求t的值以及函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若$a=\frac{ccosB+bcosC}{2cosB}$，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量和三角函数公式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），由周期公式可得周期，解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得单调增区间；
（2）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosB=$\frac{1}{2}$，进而可得A的范围，由三角函数值域可得．

解答 解：（1）由题意可得$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+t=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}（{cos2x+1}）+t=sin（{2x-\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}+t$，
∵点$M（{\frac{π}{12}，0}）$在函数f（x）的图象上，∴$sin（{2•\frac{π}{12}-\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}+t=0$，
解得$t=\frac{1}{2}$，∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），∴$T=\frac{2π}{2}=π$，
解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函数f（x）的单调增区间为$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]，k∈Z$；
（2）∵$a=\frac{ccosB+bcosC}{2cosB}$，∴ccosB+bcosC=2acosB，
∴由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=2sinAcosB，即sinA=2sinAcosB，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{2}$
∵B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$，$A+C=\frac{2}{3}π$，
∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，
∴$sin（{2A-\frac{π}{6}}）∈（{-\frac{1}{2}，1}]$，
∴f（A）的取值范围是$（{-\frac{1}{2}，1}]$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数单调性和解三角形的知识，属中档题．