Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}}+\frac{y^2}{{^{b^2}}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且经过点P（0，-1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）如果过点Q（0，$\frac{3}{5}$）的直线与椭圆交于A，B两点（A，B点与P点不重合）．
①求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值；
②当△PAB为等腰直角三角形时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且经过点P（0，-1），列出方程式组，由此能求出椭圆方程．
（2）①设直线方程为y=kx+$\frac{3}{5}$，与椭圆联立，得（4k²+1）x²+$\frac{24}{5}kx-\frac{64}{25}$=0，由此利用韦达定理、向量的数量积能求出$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值．
②由∠APB=90°，设AB的中点为M，则PM⊥AB，当k=0时，直线AB方程为y=$\frac{3}{5}$；当k≠0时，k_PM=-$\frac{20k+8}{12k}$，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出直线AB的方程．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}}+\frac{y^2}{{^{b^2}}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且经过点P（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}=1}\\{e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）①若过点P的直线的斜率不存在，则点A，B中必有一点与点P重合，
不满足题意，∴直线AB的斜率存在，设为k，则直线方程为y=kx+$\frac{3}{5}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{3}{5}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+$\frac{24}{5}kx-\frac{64}{25}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{24k}{5（4{{k}^{2}+1）}_{\;}}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{64}{25（4{k}^{2}+1）}$，
${y}_{1}+{y}_{2}={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+\frac{3}{5}k（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{9}{25}$=$\frac{-100{k}^{2}+9}{25（4{k}^{2}+1）}$，
∵P（0，-1），∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（x₁，y₁+1）•（x₂，y₂+1）=x₁x₂+y₁y₂+（y₁+y₂）+1
=-$\frac{64}{25（4{k}^{2}+1）}+\frac{6}{5（4{k}^{2}+1）}$+$\frac{-100{k}^{2}+9}{25（4{k}^{2}+1）}$+1=0．
②由①知，∠APB=90°，
若△PAB为等腰直角三角形，设AB的中点为M，则PM⊥AB，且M（-$\frac{12k}{5（4{k}^{2}+1）}$，$\frac{3}{5（4{k}^{2}+1）}$），
当k=0时，则M（0，$\frac{3}{5}$），满足条件，此时直线AB方程为y=$\frac{3}{5}$，
当k≠0时，k_PM=-$\frac{20k+8}{12k}$，有-$\frac{20k+8}{12k}=-\frac{1}{k}$，
解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴直线方程为y=$±\frac{\sqrt{5}}{5}x+\frac{3}{5}$，
即$\sqrt{5}x-5y+3=0$或$\sqrt{5}x+5y-3=0$，
故直线AB为y=$\frac{3}{5}$或$\sqrt{5}x-5y+3=0$或$\sqrt{5}x+5y-3=0$．

点评 本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查向量的数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．