Question

12．△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=$\sqrt{3}$，分别在边AB，BC，CA上取点D，E，F，使△DEF是等边三角形（如图），设∠FEC=α，问当sinα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$时，△DEF的边长最短．

Answer 1

分析 设等边△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，得到∠EDB=α，在三角形BDE中，利用正弦定理列出关系式，表示出BE，由BE+EC=BC，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，得到三角形的边长，求出边长的最小值，以及此时sinα的值即可．

解答 解：设等边△DEF的边长为x，显然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，
∵∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，∴∠EDB=α．
在△BDE中，由正弦定理得$\frac{x}{sin60°}$=$\frac{BE}{sinα}$，∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}•x•sinα$xsinα，
∵BE+EC=BC，∴xcosα+$\frac{2\sqrt{3}}{3}•x•sinα$=1，
∴x=$\frac{1}{cosα+\frac{2\sqrt{3}}{3}•sinα}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}•（\sqrt{\frac{3}{7}}•cosα+\frac{2}{\sqrt{7}}sinα）}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}•sin（α+θ）}$，
（其中，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\sqrt{\frac{3}{7}}$），
当α+θ=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{2}$-θ时，x_min=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，此时sinα=cosθ=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
故答案为：$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

点评 此题考查了正弦定理，正弦函数的值域，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．