Question

17．在△ABC中，∠C=90°，M是长度为定值的BC边上一点，sin∠BAM=$\frac{1}{3}$．若$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{MA}$取得最大值1时，则AC的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先根据向量的数量积的运算和向量的投影，以及基本不等式可得a=2，再根据正弦定理即可得到$\frac{\sqrt{{b}^{2}+1}}{3}$=$\frac{b}{\sqrt{4+{b}^{2}}}$，解得即可．

解答 解∵M是长度为定值的BC边上一点，$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{MA}$取得最大值为1
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{MA}$=|$\overrightarrow{BM}$||$\overrightarrow{MA}$|cos∠AMC=|$\overrightarrow{BM}$||$\overrightarrow{MC}$|≤1，
∴当且仅当|$\overrightarrow{BM}$|=|$\overrightarrow{MC}$|=1时取等号，
∴a=2，
设AC=b，AB=c，CM=MB=$\frac{1}{2}$a=1，
在△ABM中，由正弦定理可得，$\frac{BM}{sin∠BAM}$=$\frac{AM}{sinB}$，即$\frac{\sqrt{{b}^{2}+1}}{sinB}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3，
∴sinB=$\frac{\sqrt{{b}^{2}+1}}{3}$，
在△ABC中，sinB=$\frac{b}{c}$=$\frac{b}{\sqrt{4+{b}^{2}}}$，
∴$\frac{\sqrt{{b}^{2}+1}}{3}$=$\frac{b}{\sqrt{4+{b}^{2}}}$，
解得b=$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理的应用向量的数量的积，向量的投影，基本不等式成立的条件，以及勾股定理的应用，属中档题．