Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n∈N^*，），b_n=a_n+1²-a_n²，则{b_n}的通项公式b_n=$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n∈N^*，），化为：3${a}_{n+1}^{2}$-2${a}_{n}^{2}$=1，变形为：${a}_{n+1}^{2}$-1=$\frac{2}{3}$$（{a}_{n}^{2}-1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n∈N^*，），
化为：3${a}_{n+1}^{2}$-2${a}_{n}^{2}$=1，
变形为：${a}_{n+1}^{2}$-1=$\frac{2}{3}$$（{a}_{n}^{2}-1）$，
∴数列$\{{a}_{n}^{2}-1\}$是等比数列，首项为-$\frac{3}{4}$，公比为$\frac{2}{3}$．
∴${a}_{n}^{2}$-1=$-\frac{3}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴b_n=a_n+1²-a_n²=$-\frac{3}{4}×（\frac{2}{3}）^{n}$+$\frac{3}{4}×（\frac{2}{3}）^{n-1}$=$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
则{b_n}的通项公式b_n=$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．