Question

8．等比数列{a_n}中，a₁=1，公比q=2，前n项和为S_n，下列结论正确的是（　　）

• A． $?{n_0}∈N*，{a_{n_0}}+{a_{{n_0}+2}}=2{a_{{n_0}+1}}$
• B． ?n∈N^*，a_n•a_n+1≤a_n+2
• C． ?n∈N^*，S_n＜a_n+1
• D． $?{n_0}∈N*，{a_{n_0}}+{a_{{n_0}+3}}={a_{{n_0}+1}}+{a_{{n_0}+2}}$

Answer 1

分析 由题意可得a_n和S_n，逐个选项验证可得．

解答 解：由题意可得${a_n}={2^{n-1}}，{S_n}=\frac{{1（{1-{2^n}}）}}{1-2}={2^n}-1$，
A.${a_{n_0}}+{a_{{n_0}+2}}={2^{{n_0}-1}}+{2^{{n_0}+1}}，2{a_{{n_0}+1}}={2^{{n_0}+1}}$，${2^{{n_0}-1}}+{2^{{n_0}+1}}={2^{{n_0}+1}}⇒{2^{{n_0}-1}}=0⇒{n_0}∈∅$，∴A错；
B.${a_n}•{a_{n+1}}={2^{n-1}}•{2^n}={2^{2n-1}}，{a_{n+2}}={2^{n+1}}$，构造函数f（x）=2^x，易知f（x）在R上单调递增，
当x=2时，f（2x-1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x-1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；
C．S_n＜a_n+1恒成立即2ⁿ-1＜2ⁿ恒成立，显然C正确．
同A的解析可得D错误．
故选：C

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及函数的单调性和恒成立，属中档题．