Question

16．将函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调区间是（　　）

• A． [4k+1，4k+3]（k∈Z）
• B． [2k+1，2k+3]（k∈Z）
• C． [2k+1，2k+2]（k∈Z）
• D． [2k-1，2k+2]（k∈Z）

Answer 1

分析 根据图象的变换规则逐步得出函数解析式，利用正弦函数的单调性即可得解．

解答 解：∵将函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（πx）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数解析式为：y=$\sqrt{3}$cos（$\frac{1}{2}$πx）；
再把图象上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数的解析式为：g（x）=$\sqrt{3}$cos[$\frac{1}{2}$π（x-1）]；
∴可得：$g（x）=\sqrt{3}sin\frac{π}{2}x$，
∵由2k$π+\frac{π}{2}$≤$\frac{πx}{2}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：4k+1≤x≤4k+3，k∈Z，
可得函数g（x）的单调递减区间是：[4k+1，4k+3]，k∈Z，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{πx}{2}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：4k-1≤x≤4k+1，k∈Z，
可得函数g（x）的单调递增区间是：[4k-1，4k+1]，k∈Z，
对比各个选项，只有A正确．
故选：A．

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．