Question

11．若椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，则此椭圆的内接正方形的边长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，求出b=c=1，a=$\sqrt{2}$，由此能求出此椭圆的内接正方形的边长．

解答 解：不妨设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵椭圆的两焦点与短轴两端点在单位圆上，
∴依题意，得b=c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
设此椭圆的内接正方形在第一象限的顶点坐标为（x₀，x₀），
代入椭圆方程，得${x}_{0}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴正方形边长为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．