Question

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线通过点$（0\;，\;-\frac{1}{2}）$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆短轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式能求出S_△AOB的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的短轴长为2，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
解得a²=2，b²=1．
故椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消y得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
当△=8（2k²-m²+1）＞0，即2k²+1＞m²①时，x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$．
又$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}-（-\frac{1}{2}）}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}-0}$=-$\frac{1}{k}$，化简整理得：2k²+1=2m②．
代②入①得：0＜m＜2．
又原点O到直线AB的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{4{k}^{2}-2{m}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{|m|\sqrt{4{k}^{2}-2{m}^{2}+2}}{1+2{k}^{2}}$，且0＜m＜2，
所以当m=1，即k²=$\frac{1}{2}$时，S_△AOB取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．