Question

17．设a、b为正实数，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2$\sqrt{2}$．
（1）求a²+b²的最小值；
（2）若（a-b）²≥4（ab）³，求ab的值．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式得出ab$≥\frac{1}{2}$（a=b时等号成立），
利用a²+b²≥2ab=$2×\frac{1}{2}=1$（a=b时等号成立）求解即可．
（2）根据$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2$\sqrt{2}$．
∴a$+b=2\sqrt{2}ab$，
代入得出（a+b）²-4ab≥4（ab）³，即（2$\sqrt{2}ab$）²-4ab≥4（ab）³
求解即可得出ab=1

解答 解：（1）∵a、b为正实数，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2$\sqrt{2}$．
∴a、b为正实数，且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2$\sqrt{2}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$（a=b时等号成立）．
即ab$≥\frac{1}{2}$（a=b时等号成立）
∵a²+b²≥2ab=$2×\frac{1}{2}=1$（a=b时等号成立）．
∴a²+b²的最小值为1，
（2）∵且$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=2$\sqrt{2}$．
∴a$+b=2\sqrt{2}ab$
∵（a-b）²≥4（ab）³，
∴（a+b）²-4ab≥4（ab）³
即（2$\sqrt{2}ab$）²-4ab≥4（ab）³
即（ab）²-2ab+1≤0，（ab-1）²≤0，
∵a、b为正实数，
∴ab=1

点评 本题考查了基本不等式，考查了运用基本不等式求函数的最值，运用基本不等式求函数最值时，要保证：“一正、二定、三相等”，此题是基础题