Question

12．在平行四边形ABCD中，$AB=\frac{1}{2}，∠BAD=\frac{π}{3}，E$为CD的中点，若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}=1$．则AD的长为1．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{BE}$，代入数量积公式解出AD．

解答 解：$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}$=-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）•（-$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$）=-$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+${\overrightarrow{AD}}^{2}$=1．
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=$\frac{AD}{4}$，${\overrightarrow{AD}}^{2}$=AD²，${\overrightarrow{AB}}^{2}=\frac{1}{4}$．
∴AD²+$\frac{1}{8}AD$-$\frac{1}{8}$=1，解得AD=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了平面向量线性运算，数量积运算，属于中档题．