Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且椭圆C与圆M：x²+（y-3）²=4的公共弦长为4
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x²+y²=$\frac{8}{5}$相切并交椭圆C于另一点，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和对称性可得椭圆经过点（±2，3），代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x-4），由直线和圆相切的条件：d=r，可得k，再由直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得B的横坐标，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
椭圆C与圆M：x²+（y-3）²=4的公共弦长为4，
可得椭圆经过点（±2，3），
即有$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{{b}^{2}}$=1，
解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x-4），
由直线与圆x²+y²=$\frac{8}{5}$相切，可得$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}}$，
解得k=±$\frac{1}{3}$，
将直线y=±$\frac{1}{3}$（x-4），代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，消去y，可得
31x²-32x-368=0，
设B（x₀，y₀），可得4x₀=-$\frac{368}{31}$，
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（4，0）•（x₀，y₀）=4x₀=-$\frac{368}{31}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查向量的数量积的坐标表示，同时考查直线和圆相切的条件：d=r，直线方程和椭圆方程联立，考查运算能力，属于中档题．